方波是一種常見(jiàn)的信號(hào)，其時(shí)域、頻域之間的關(guān)系很明確，且具有一定的代表性。此處以方波為例，對(duì)周期信號(hào)的頻譜進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析。

信號(hào)的頻譜可分為實(shí)部譜、虛部譜、幅值譜、相位譜、功率譜等。對(duì)信號(hào)作頻譜分析既可以用各種頻譜分析儀，也可以采用信號(hào)分析軟件，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都是傅里葉變換。

三角形式的傅 里葉級(jí)數(shù)

任何一個(gè)周期函數(shù)x(t)都可以用三角函數(shù)集中各函數(shù)分量的線性組合來(lái)表示，即

 

式中，a₀、a_n 、b_n為傅里葉系數(shù);f_n為各諧頻的頻率。

必須指出，并非任意周期信號(hào)都能進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。在數(shù)學(xué)中已經(jīng)描述，被展開(kāi)的級(jí)數(shù)x(t)應(yīng)滿(mǎn)足如下的充分條件( Driclet條件):

1)在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即

 

2)在一周期內(nèi)，函數(shù)的極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。

3)在一周期內(nèi)，如有間斷點(diǎn)，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)，而且當(dāng)t從不同方向趨近間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)應(yīng)具有兩個(gè)不同的有限的極限值。

實(shí)際進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)，不可能去計(jì)算無(wú)限多次諧波分量，而只能取有限項(xiàng)來(lái)近似地表示函數(shù)x(t)，這就要出現(xiàn)誤差:

 

式中，為誤差函數(shù)，代表所有n次以上諧波分量之和。所取的級(jí)數(shù)項(xiàng)越多，即n值越大，則其誤差就越小。

例1  以圖3-11所示方波為例，說(shuō)明信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示及其誤差。

該信號(hào)用函數(shù)式表示:             

計(jì)算結(jié)果：                                

          

         

               

因此，該方波在區(qū)間(0,T)內(nèi)可表示為

 

一般情況下，取的項(xiàng)數(shù)n越多，誤差越小。此處以方波為例進(jìn)行說(shuō)明，圖3-12分別給出了取第一項(xiàng)、前兩項(xiàng)和前三項(xiàng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的圖形。如果僅取第一項(xiàng)，均方誤差 =0.19；若取前兩項(xiàng)，則=0.1;取前三項(xiàng)，則=0.07。

在選取傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)時(shí)，如果信號(hào)不連續(xù)，則存在一種現(xiàn)象：所選取的項(xiàng)數(shù)越多，所合成的波形中的峰越靠近f(t)不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)所取項(xiàng)數(shù)足夠大時(shí)，該峰趨于一常數(shù)，約為跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開(kāi)始以振蕩的形式逐漸衰減。這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯現(xiàn)象( Gibbs phenomenon)。

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